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行列計算の復習

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行列の足し算
 \begin{pmatrix}
a1&b1\\
c1&d1
\end{pmatrix}

+ 

\begin{pmatrix}
a2&b2\\
c2&d2
\end{pmatrix}

= 

\begin{pmatrix}
a1+a2&b1+b2\\
c1+c2&d1+d2
\end{pmatrix}


行列の掛け算
  • 行列どうしのかけ算は、「左の列数」と「右の行数」が等しくないとかけ算できない
  • 計算結果の行列は左側の行数と右側の列数の行列となる 
 \begin{pmatrix}
a1&b1\\
c1&d1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
a2&b2\\
c2&d2
\end{pmatrix}

= 

\begin{pmatrix}
a1*a2 +b1*c2  & a1*b2 + b1*d2 \\
c1*a2 + d1*c2 & c1*b2 + d1*d2
\end{pmatrix}


単位行列

単位行列はその対角成分に1が並び、他は全て0となる行列。

 \begin{pmatrix}
1&0&...& 0\\
0&1&...& 0\\
0&0&...&1
\end{pmatrix}


逆行列

ある行列と掛け算すると、単位行列となる行列を逆行列と呼ぶ。

 \begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}

の逆行列は

 \begin{pmatrix}
-2&1\\
1.5&-0.5
\end{pmatrix}

となる。

 \begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}^{\mathrm{-1}}

のように記述する。


2 * 2の行列の逆行列の求め方
 \begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}

の時、

 
(1 / (ad -bc))
\begin{pmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{pmatrix}

となる。

例えば、

 \begin{pmatrix}
2&3\\
1&4
\end{pmatrix}^{\mathrm{-1}}

は

 
(1 / 5 )
\begin{pmatrix}
4&-3\\
-1&2
\end{pmatrix}

が逆行列となる。


ad -bc = 0

となり、逆行列が存在しない行列も存在する。


行列を使用した連立方程式
3x + 2y = 310
4x + 3y = 440

は


\begin{pmatrix}
3&2\\
4&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
310\\
440
\end{pmatrix}

と表せる。逆行列を利用して、


\begin{pmatrix}
3&2\\
4&3
\end{pmatrix}^{\mathrm{-1}}
\begin{pmatrix}
3&2\\
4&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
3&2\\
4&3
\end{pmatrix}^{\mathrm{-1}}
\begin{pmatrix}
310\\
440
\end{pmatrix}



\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
3&2\\
4&3
\end{pmatrix}^{\mathrm{-1}}
\begin{pmatrix}
310\\
440
\end{pmatrix}

となり、


\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
3&-2\\
-4&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
310\\
440
\end{pmatrix}

で、x, yが求まる。


転置行列

元の行列の行と列を入れ替えた行列

 \begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{pmatrix}

の転置行列は

 \begin{pmatrix}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{pmatrix}

となる。


 \begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{pmatrix}^{\mathrm{t}}

のように記述する。


重回帰分析での式として、wがウエイト、xが特徴量とした時、

x0w0 + x1w1 + x2w2 = y

となる式を、


\begin{pmatrix}
x0\\x1\\x2
\end{pmatrix}^{\mathrm{t}}
\begin{pmatrix}
w0\\w1\\w2
\end{pmatrix}

= x|^{\mathrm{t}} w| 

※ |はベクトルを表す

のように表現できる。


ベクトルの微分

公式だけ。

cは定数。定数時は0ベクトルとなる。


\frac{\partial}{\partial x|}(c)=0|



\frac{\partial}{\partial x|}( b|^{\mathrm{t}} x|  )=b|



\frac{\partial}{\partial x|}( x|^{\mathrm{t}}Ax|  )=(A+A^{\mathrm{t}})x|


一次変換

行列に点(x[i], y[i])群を掛けた時、行列の性質によって点が移動性質が異なる。

逆行列が存在する行列の場合、点群は平面に移動する。また、連立方程式の解が存在する。

逆行列が存在しない行列の場合、点群は直線、または点に変換される。